PHÂN BỐ WEIBULL TRONG NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC RỪNG VÀ PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

Hàm Weibull có ý nghĩa quan trọng trong việc biểu diễn phân bố tuổi đời của các hệ thống sống. Nó đã và đang được các nhà nghiên cứu lâm nghiệp sử dụng một cách phổ biến trong nghiên cứu cấu trúc rừng, đặc biệt là để nghiên cứu phân bố số cây theo đường kính. Trong bài này chúng tôi xin giới thiệu một phương pháp ước lượng các tham số của hàm Weibull và ví dụ ứng dụng của hàm trong nghiên cứu cấu trúc rừng.

1. Định nghĩa (Mueler/Neumann/Storm, 1973)

Một biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố Weibull với các tham số a, bvà x_o ( a>0, b>0, x_o=”số” thực bất kỳ) khi hàm phân bố F_x (x) có dạng:

1- exp {- [( x- x_o )/b] ^a} với x> x_o

F_x (x) =

0 với x£x_o

và hàm mật độ f_x (x) có dạng:

a/b[( x- x_o )/b] ^a^-1 exp {- [( x- x_o )/b] ^a} với x> x_o

f_x (x) =

0 với x£x_o

Đối với hàm Weibull ta có:

EX = x_o+ bG(1/a+ 1),

D²X = b²[ G(2/a+1) – G²(1/a+1)]

Phân bố Weibull có vai trò rất quan trong trong biễu diễn tuổi đời của các hệ thống sống, đó là các hệ được cấu thành thông qua các phần tử kế tiếp nhau đặc trưng bởi tuổi đời của các thành viên yếu nhất trong chuổi các phần tử. Giả sử ta có z₁, z₂, …, z_n là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, tương tự tuân theo một hàm phân bố F (bất kỳ). Gọi a_n + x_o là trị số của F với bậc 1/n thì đại lượng ngẫu nhiên

1/a_n min (z₁, z₂, …, z_n )

tiệm cận (đối với nà¥) phân bố Weibull với các tham số a, 1 và x_otrong trường hợp F thoả mãn các điều kiện sau:

1. F(x_o) = 0 và F(x_o + e) >0 với tất cả e>0,

2. lim [F(kx+x_o)/F(x+x_o)] = k² với tất cả k>0

x¯0

Điều kiện 2 đặc trưng cho phản ứng tăng trưởng của F về phía phải của x_o .

Nếu X tuân theo phân bố Weibull với các tham số a, bvà x_o thì Y=”(X-x_o)/bcũng tuân theo phân bố Weibull và với các tham số là a, 1 và 0. Do đó người ta có thể rút gọn phân bố Weibull trong pham vi Y. Gữa các hàm phân bố Fx cũng như Fy và trị số w_q;_a_,_b_,xocũng như w_q;_a_,1,0= w_q;_acủa phân bố Weibull chung và phân bố Weibull rút gọn có các quan hệ:

F_x(x) = F_y[(x-x_o)/b]

w_q;_a_,_b_,xo= x_o + bw_q;_a.

Giá trị đặc biệt của các tham số:

1. Nếu a= 1 và x_o = 0 thì phân bố trở về phân bố mũ với hàm mật độ là:

1/bexp(-(x/b)) với x> 0

f_x (x) =

0 với x£0

Ta có EX = b.

2. Nếu a= 2 và x_o = 0 thì phân bố trở về phân bố RAYLEICH với hàm mật độ là:

2x/b²exp(-(x/b)²) với x> 0

f_x (x) =

0 với x£0